Fungsi dan Relasi

FUNGSI

1.     PENGERTIAN FUNGSI

Fungsi dalam matematika adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range). 
Pada fungsi, terdapat beberapa istilah penting, di antaranya:
– Domain yaitu daerah asal fungsi  f dilambangkan dengan Df.
– Kodomain yaitu daerah kawan fungsi f dilambangkan dengan Kf.
– Range yaitu daerah hasil yang merupakan himpunan bagian dari kodomain. Range fungsi  f dilambangkan dengan Rf.
Fungsi juga dapat dinyatakan dengan lambang f : x → y = f(x)
dimana y = f(x) adalah rumus fungsi dengan x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel terikat (tak bebas)
Contoh:

Untuk fungsi yang digambarkan dalam diagram panah di atas:
Domain = D_f = {1, 2, 3, 4}
Range = R_f = {2, 4}

2.      SIFAT-SIFAT FUNGSI

A. FUNGSI INJEKTIF
Fungsi injektif disebut fungsi satu-satu . Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu (injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f:A→B adalah fungsi injektif apabila a ≠ b berakibat f(a) ≠ f(b) atau ekuivalen, jika f(a) = f(b) maka akibatnya a = b.

B.  FUNGSI SURJEKTIF
Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain Bterdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).
C. FUNGSI BIJEKTIF
Suatu pemetaan f: A→B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi yang injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif” atau “ A dan B berada dalam korespondensi satu-satu”.

3.      JENIS-JENIS FUNGSI

A.     FUNGSI LINEAR

Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan : f(x) = ax + b, a dan b konstan dengan a ≠ 0 disebut fungsi linear

B.     FUNGSI KONSTAN

Misalkan f:A→B adalah fungsi di dalam A maka fungsi f disebut fugsi konstan jika dan hanya jika jangkauan dari f hanya terdiri dari satu anggota.

C.     FUNGSI IDENTITAS

Misalkan f:A→B adalah fungsi dari A ke B maka f disebut fungsi identitas jika dan hanya jika range f = kodomain atau f(A)=B.

D.     FUNGSI KUADRAT

Fungsi f: R→R yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax2 + bx + c dengan a,b,c ∈ R dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat.







SOAL DAN PEMBAHASAN:
1. Mana dari himpunan A, B dan C berikut ini yang merupakan fungsi ?
A = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7), (5, 8)}
B ={(1, 6), (1, 7), (2, 8), (3, 9), (4, 10)}
C ={(2, 5), (3, 6), (4, 7)}

Jawab:
Yang merupakan pemetaan atau fungsi adalah himpunan A dan C. B bukan fungsi
sebab pada himpunan B domain 1 muncul dua kali (berelasi dengan nilai 6 dan 7 pada
kodomain).

2.  Diketahui, jika :
A = {2, 3, 6}
B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}
Tuliskan domain, kodomain, range dari relasi diatas?
jawab :
Domain = {2, 4, 6}
Kodomain = {2, 4, 6, 8, 10, 11}
Range = { 2, 4, 6, 8, 10}

RELASI

Relasi adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis. Jika R suatu relasi yang menghubungkan  dengan , maka kita dapat menulisnya dengan  atau . Dimana x disebut prapeta y, y disebut peta atau bayangan dari x (ditulis: y = R(x)). Himpunan A disebut daerah asal atau domain, himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain dan himpunan yang dibentuk dari prapeta pada anggota A yang merupakan anggota himpunan B disebut daerah hasil atau range.

MACAM-MACAM RELASI

A.  Relasi Refleksif

Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen A berhubungan dengan dirinya sendiri

Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu bersama y.”, dengan x dan y adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.

B.  Relasi Irefleksif

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.

contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur rambutnya sendiri.

Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.

C.  Relasi Simetrik

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota A berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.

Sebuah relasi “x + y genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.

D.  Relasi Anti-simetrik

Jika setiap a dan b yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi a dan b berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.

Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi. Demikian juga jika ada p dan q yang terhadap mereka berlaku  dan  berarti p = q.

E.  Relasi Transitif

Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika a berhubungan dengan b, dan b berhubungan dengan c, maka a berhubungan dengan c secara langsung.

Atau Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.

Relasi khusus

a.      Relasi Ekivalen

Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat:

• Refleksif
• Simetrik, dan
• Transitif

Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan partisi, yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas ekivalen atau kelas kesetaraan.

b.      Orde Parsial

Orde parsial adalah relasi yang bersifat:

• Refleksif
• Anti-simetrik, dan
• Transitif

  

Macam-macam Penyajian Bentuk Relasi :

a. Diagram Panah

Anggota-anggota himpunan P berelasi dengan anggota himpunan Q dengan relasi “menyukai”. Hal tersebut ditunjukkan dengan arah panah. Oleh karena itu, diagramnya disebut diagram panah.

b. Diagram Kartesius

Diagram kartesius merupakan diagram yang terdiri atas sumbu X dan sumbu Y. Pada diagram kartesius, anggota himpunan P terletak pada sumbu mendatar (sumbu-X), sedangkan anggota himpunan Q terletak pada sumbu tegak (sumbu-Y). Relasi yang menghubungkan himpunan P dan Q ditunjukkan dengan noktah atau titik sepertiterlihat pada gambar.



c. Himpunan Pasangan Berurutan

Selain menggunakan diagram panah dan kartesius, sebuah relasi yang menghubungkan himpunan yang satu dengan himpunan lainnya dapat disajikan dalam bentuk himpunan pasangan berurutan. Adapun cara penulisannya adalah anggota himpunan P ditulis pertama, sedangkan anggota himpunan Q menjadi pasangannya.
Berdasarkan soal di atas, maka diperoleh himpunan pasangan berurutan sebagai berikut.
{(Rani, basket), (Rani, bulu tangkis), (Dian, basket), (Dian, atletik), (Isnie, senam), (Dila, basket), (Dila, tenis meja)}

Himpunan

Himpunan

1.   Pengertian Himpunan

Himpunan memiliki banyak sekali arti, tergantung dari setiap orang dan cara pemahaman seseorang terhadap himpunan tersebut. Nah, berikut ini saya akan mendefinisikan beberapa arti dari HIMPUNAN.

⊛   Himpunan (set) adalah kumpulan objek objek yang berbeda, dimana objek yang dimaksud adalah Elemen, unsur atau anggota.

⊛   Himpunan merupakan kumpulan objek yang memiliki sifat yang dapat didefinisikan dengan jelas.

⊛   Himpunan merupakan kumpulan atau koleksi benda atau objek tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan yang jelas.

⊛   Himpunan merupakan Sekumpulan objek objek tertentu, dimana objek tersebuat dapat menjadi satu kesatuan karna adanya kesamaan.

⊛   Himpunan merupakan kumpulan objek objek atau elemen elemen yang berada dalam satu semesta yang sama.

⊛   Himpunan merupakan kumpulan dari elemen elemen yang berbeda yang di definisikan menjadi satu kesatuan yang jelas dan saling berkaitan.

Cara menyatakan himpunan:

a.    Menuliskan tiap tiap anggota himpunan diantara 2 kurung kurawal.

Contoh:

A adalah hewan peliharaan dirumah, yaitu: anjing, kucing, burung. Maka A dituliskan dengan A={anjing,kucing,burung}.

b.   Menuliskan semua sifat-sifat yang ada pada semua anggota himpunan diantara 2 kurung kurawal.

Contoh:

B adalah himpunan yang menyatakan hewan hewan dikebun binatang, maka dituliskan sebagai B={x | x = hewan- hewan dikebun binatang}.

2.  Cara penulisan Himpunan

ᴥ     Enumerasi

Enumerasi merupakan cara penyajian himpunan dengan mendaftarkan semua anggota atau elemen himpunan yang bersangkutan diantara dua buah tanda kurung kurawal ( {} ).

Biasanya suatu himpunan diberi nama dengan menggunakan huruf kapital maupun dengan menggunakan simbol-simbol lainnya.

Contoh:

a.    Himpunan B yang berisi lima bilangan genap positif pertama adalah?

Jawab:

B={2,4,6,8,10}.

Didalam penulisan menggunakan ENUMERASI terkadang terdapat himpunan yang anggotanya berulang ulang, himpunan yang seperti ini disebut himpunan ganda (multiset). Sehingga dapat dituliskan dengan menambahkan indek pada variabel himpunan tersebut.

Contoh:

A={x,x_1,x₂,y,y₁}

Dalam suatu himpunan ,suatu objek dapat menjadi anggota dan bukan anggota dari himpunan tersebut. Dalam menyatakan keanggotaan tersebut digunakan notasi berikut:

·    xA untuk menyatakan bahwa x adalah anggota himpunan A

·    xA untuk menyatakan bahaw x adalah bukan anggota himpunan A

ᴥ     Simbol-simbol baku

Simbol-simbol baku merupakan Penulisan himpunan yang sudah baku dikhususkan bagi himpunan yang telah baku dan sering digunakan dalam penjabaran matematika.

Simbol-simbol tersebut :

·        N= Himpunan dari bilangan-bilangan asli atau bulat positif.

Contoh: {1,2,3,4,...}

·         Z= Himpunan dari semua bilangan bulat.

Contoh:

{-2,-1,0,1,2,...}

·        Q= Himpunan dari bilangan-bilangan rasional.

·        R= Himpunan bilangan real.

·        C= Himpunan bilangan kompleks.

·        P =  himpunan bilangan bulat positif 

Contoh:

{1, 2, 3, ...}

Terdapat penulisan simbol Himpunan dalam bentuk Universal atau biasa disebut Himpunan Semesta, disimbolkan dengan U.

Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

ᴥ     Dengan bentuk perincian (set builder form)

Yaitu dengan cara menulis syarat keanggotaannya. Dimana anggota himpunan ditulis atas dasar sifat dari anggota bilangan tersebut.

               Contoh : A adalah himpunan x dimana x bilangan asli yang

          kurang  dari 6

                     A = {x/x<6, x € A}.

ᴥ     Diagram venn

Diagram venn merupakan representasi himpunan-himpunan dalam bentuk gambar dimana himpunan tersebut diwakili oleh area-area tertutup dalam suatu bidang. Dalam diagram venn, suatu himpunan dinyatakan sebagai suatu lingkaran yang diberi nama himpunan. Didalam diagram venn himpunan semesta(U) digambarkan sebagai suatu segiempat sedangkan himpunan lainnya digambarkan sebagai suatu lingkaran didalam segiempat tersebut. Anggota-anggota suatu himpunan berada dalam lingkaran, sedangkan anggota himpunan yang lain didalam lingkaran lain pula. Ada kemungkinan dalam dua himpunan mempunyai anggota yang sama dan hal ini digambarkan dengan lingkaran yang saling beririsan. Anggota U yang tidak termasuk dalam himpunan manapun di letakkan diluar lingkaran.

Contoh Soal:

Diketahui himpunan semesta S = {bilangan genap kurang dari 10}, himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan himpunan B = {2, 4, 6}. Nyatakan data tersebut dengan diagram venn.

Pembahasan:

Diketahui:

S = {2, 4, 6, 8}

A = {1, 2, 3, 4}

B = {2, 4, 6}

Pertama kita gambar dulu persegi, kemudian tuliskan huruf S di sisi kiri atas. Karena himpunan A dan B saling berpotongan A^B = {2, 4} maka kita gambar dua buah lingkaran yang saling berpotongan. Sehingga hasil diagramnya sebagai berikut:

 

3.  Kardinalitas

Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat diartikan sebagai ukuran banyaknya elemen yang dikandung oleh himpunan tersebut.atau dengan kata lain Kardinalitas adalah himpunan bilangan yang menunjukkan banyaknya Jumlah Anggota.

Contoh:

Banyaknya elemen himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} adalah 4. Himpunan {p, q, r, s} juga memiliki elemen sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.

Himpunan Kardinalitas terdiri dari :

a.      Himpunan Berhingga (finit) dan Himpunan Tak berhingga (infinit)

         Himpunan Berhingga (finit) adalah himpunan yang anggotanya berbatas.

         Contoh :

         A = {Himpunan bilangan genap < 10 }  => A = ( 2,4,6,8 }

         B = {Himpunan bilangan ganjil < 10 }   => B = { 1,3,5,7,9 }

b.     Himpunan Tak Berhingga (infinit) adlah himpunan yang anggotanya berbatas.

        Contoh :

        A = { Himpunan bilangan genap }  =>  A = { 2,4,6,8,… }

        B = { Himpunan bilangan ganjil }  => B = { 1,3,5,7,9,… }

c.      Himpunan Denumerable dan Himpunan Nondenumerable

·        Himpunan Denumerable adalah jika sebuah himpunan

                ekuivalen  dengan Himpunan N yaitu Himpunan bilangan asli.

   

Contoh :

     A = { Himpunan bilangan asli }  =>A = { 1,2,3,4,5,… }

·        Himpunan Nondenumberable adalah jika sebuah himpunan ekuivalen dengan himpunan R yaitu himpunan bilangan riil.

                  Contoh :

                  A = { Himpunan bilangan riil } =>A = { 1.01,1.001,1.0001,… }

d.       Himpunan Countable dan Himpunan Uncountable

·        Himpunan Countable jika himpunan itu merupakan himpunan finit atau denumberable.

         Contoh :

        Dalam kehidupan sehari-hari : Beras , Rambut (memiliki unit )

        Dalam bilangan : semua bilangan yang berbatas

·        Himpunan Uncountable hika himpunan itu merupakan infinit atau nodumerable.

       Contoh :

       Dalam kehidupan sehari-hari : Air, Udara

       Dalam bilangan : bilangan rii

Himpunan yang tidak berhingga, mempunyai kardinal yang tidak berhingga pula. Contohnya: himpunan bilangan riil mempunya jumlah anggota tak terhingga, maka |R|=.

4.  Macam-macam himpunan

ᴥ     Himpunan kosong

Himpunan kosong merupakan himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal=0.

Himpunan kosong di tuliskan dengan lambang {} atau .

Contoh:

A={Himpunan ayam berakaki empat}, maka |A|=0.

ᴥ     Himpunan bagian(subset)

Dimana himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B, jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

§  A adalah Subset atau himpunan bagian dari(atau termasuk kedalam) B, dilambangkan dengan A B. Atau secara ekuivalen

§  B adalah superset atau super himpunan dari (atau meliputi) A, dilambangkan dengan B A.

             Jika A adalah sebuah subset dari B,tetapi A tidak sama

              dengan B, maka:

§  A juga meupakan suatu subset wajar dari B (proper subset atau strict subset)dari B, dilambangkan dengan A  B.

§  B adalah superset wajar(proper superset) dari A, dilambangkan dengan: B  A.

             Contoh:

Himpunan A={1,2,3} adalah subset dari E={1,2,3}, sehingga D     E benar, dan A  E salah.

ᴥ     Himpunan berhingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung.
Contohnya D = {bilangan genap kurang dari 10} atau A = {2,4,6,8}.
Himpunan D jumlah angotanya dapat dihitung yaitu sebanyak 4 buah. 

ᴥ     Himpunan tak hingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak hingga. Contohnya: A= {bilangan genap}, B= {bilangan ganjil} 

ᴥ     Himpunan ekuivalen/himpunan sama adalah himpunan yang anggotanya sama
   contohnya A= {b,c,d} B={d,c,b} A=B

ᴥ     Himpunan semesta adalah himpunan dari semua unsur yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta juga disebut himpunan uiversal dan ditulis dengan huruf S.
contohnya:A = {1,3,5,7,9}
himpunan semestanya berupa:
S = {bilangan asli}
S = {bilangan cacah}
S = {bilangan ganjil kurang dari 10}

ᴥ     Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari nol dan seterusnya contoh K = {0,1,2,3,4,5} 

ᴥ     Himpunan bagian adalah apabila setiap unsur dalam himpunan B termasuk juga anggota A, maka B merupakan bagian dari himpunan A. contohnya B = {a,c,e} A = {a,b,c,d,e}
jadi B bagian dari A.Anggota himpunan n adalah suatu unsur dari suatu himpunan. Contohnya : A = (a,b,c,d,e} maka a elemen A

ᴥ     Himpunan lepas adalah ssuatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan lain. ContohnyaA = {d,e,f} B = {g,h,i} maka himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A//B bukan anggota himpunan adalah unsur ini tidak termasuk dalam himpunan tersebut contohnya A = {a,b,c,d} e bukan anggota himpunan A.

ᴥ     Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari bilangan satu dan seterusnya.Contohnya D = {1,2,3,4,...}

ᴥ     Himpunan bilangan genap adalah himpunan yang anggotanya dimulai dari angka dua dan selalu genap atau habis dibagi dua contohnya G = {2,4,6,8,10}

ᴥ     Himpunan bilangan ganjil adalah himpunan yang anggota bilanganya tidak habis dibagi dua .contohnya K = {1,3,5,7}  

ᴥ     Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan yang anggotanya semua bilangan yang memiliki dua faktor contohnya Y = {2,3,,5,7} 

ᴥ     Himpunan kuadrat bilangan cacah adalah himpunan bilangan cacah yang anggotanya dipangkatkan dua.Contohnya Y = {0^2,1^2,3^2)