Himpunan

Himpunan

1.   Pengertian Himpunan

Himpunan memiliki banyak sekali arti, tergantung dari setiap orang dan cara pemahaman seseorang terhadap himpunan tersebut. Nah, berikut ini saya akan mendefinisikan beberapa arti dari HIMPUNAN.

⊛   Himpunan (set) adalah kumpulan objek objek yang berbeda, dimana objek yang dimaksud adalah Elemen, unsur atau anggota.

⊛   Himpunan merupakan kumpulan objek yang memiliki sifat yang dapat didefinisikan dengan jelas.

⊛   Himpunan merupakan kumpulan atau koleksi benda atau objek tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan yang jelas.

⊛   Himpunan merupakan Sekumpulan objek objek tertentu, dimana objek tersebuat dapat menjadi satu kesatuan karna adanya kesamaan.

⊛   Himpunan merupakan kumpulan objek objek atau elemen elemen yang berada dalam satu semesta yang sama.

⊛   Himpunan merupakan kumpulan dari elemen elemen yang berbeda yang di definisikan menjadi satu kesatuan yang jelas dan saling berkaitan.

Cara menyatakan himpunan:

a.    Menuliskan tiap tiap anggota himpunan diantara 2 kurung kurawal.

Contoh:

A adalah hewan peliharaan dirumah, yaitu: anjing, kucing, burung. Maka A dituliskan dengan A={anjing,kucing,burung}.

b.   Menuliskan semua sifat-sifat yang ada pada semua anggota himpunan diantara 2 kurung kurawal.

Contoh:

B adalah himpunan yang menyatakan hewan hewan dikebun binatang, maka dituliskan sebagai B={x | x = hewan- hewan dikebun binatang}.

2.  Cara penulisan Himpunan

ᴥ     Enumerasi

Enumerasi merupakan cara penyajian himpunan dengan mendaftarkan semua anggota atau elemen himpunan yang bersangkutan diantara dua buah tanda kurung kurawal ( {} ).

Biasanya suatu himpunan diberi nama dengan menggunakan huruf kapital maupun dengan menggunakan simbol-simbol lainnya.

Contoh:

a.    Himpunan B yang berisi lima bilangan genap positif pertama adalah?

Jawab:

B={2,4,6,8,10}.

Didalam penulisan menggunakan ENUMERASI terkadang terdapat himpunan yang anggotanya berulang ulang, himpunan yang seperti ini disebut himpunan ganda (multiset). Sehingga dapat dituliskan dengan menambahkan indek pada variabel himpunan tersebut.

Contoh:

A={x,x_1,x₂,y,y₁}

Dalam suatu himpunan ,suatu objek dapat menjadi anggota dan bukan anggota dari himpunan tersebut. Dalam menyatakan keanggotaan tersebut digunakan notasi berikut:

·    xA untuk menyatakan bahwa x adalah anggota himpunan A

·    xA untuk menyatakan bahaw x adalah bukan anggota himpunan A

ᴥ     Simbol-simbol baku

Simbol-simbol baku merupakan Penulisan himpunan yang sudah baku dikhususkan bagi himpunan yang telah baku dan sering digunakan dalam penjabaran matematika.

Simbol-simbol tersebut :

·        N= Himpunan dari bilangan-bilangan asli atau bulat positif.

Contoh: {1,2,3,4,...}

·         Z= Himpunan dari semua bilangan bulat.

Contoh:

{-2,-1,0,1,2,...}

·        Q= Himpunan dari bilangan-bilangan rasional.

·        R= Himpunan bilangan real.

·        C= Himpunan bilangan kompleks.

·        P =  himpunan bilangan bulat positif 

Contoh:

{1, 2, 3, ...}

Terdapat penulisan simbol Himpunan dalam bentuk Universal atau biasa disebut Himpunan Semesta, disimbolkan dengan U.

Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

ᴥ     Dengan bentuk perincian (set builder form)

Yaitu dengan cara menulis syarat keanggotaannya. Dimana anggota himpunan ditulis atas dasar sifat dari anggota bilangan tersebut.

               Contoh : A adalah himpunan x dimana x bilangan asli yang

          kurang  dari 6

                     A = {x/x<6, x € A}.

ᴥ     Diagram venn

Diagram venn merupakan representasi himpunan-himpunan dalam bentuk gambar dimana himpunan tersebut diwakili oleh area-area tertutup dalam suatu bidang. Dalam diagram venn, suatu himpunan dinyatakan sebagai suatu lingkaran yang diberi nama himpunan. Didalam diagram venn himpunan semesta(U) digambarkan sebagai suatu segiempat sedangkan himpunan lainnya digambarkan sebagai suatu lingkaran didalam segiempat tersebut. Anggota-anggota suatu himpunan berada dalam lingkaran, sedangkan anggota himpunan yang lain didalam lingkaran lain pula. Ada kemungkinan dalam dua himpunan mempunyai anggota yang sama dan hal ini digambarkan dengan lingkaran yang saling beririsan. Anggota U yang tidak termasuk dalam himpunan manapun di letakkan diluar lingkaran.

Contoh Soal:

Diketahui himpunan semesta S = {bilangan genap kurang dari 10}, himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan himpunan B = {2, 4, 6}. Nyatakan data tersebut dengan diagram venn.

Pembahasan:

Diketahui:

S = {2, 4, 6, 8}

A = {1, 2, 3, 4}

B = {2, 4, 6}

Pertama kita gambar dulu persegi, kemudian tuliskan huruf S di sisi kiri atas. Karena himpunan A dan B saling berpotongan A^B = {2, 4} maka kita gambar dua buah lingkaran yang saling berpotongan. Sehingga hasil diagramnya sebagai berikut:

 

3.  Kardinalitas

Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat diartikan sebagai ukuran banyaknya elemen yang dikandung oleh himpunan tersebut.atau dengan kata lain Kardinalitas adalah himpunan bilangan yang menunjukkan banyaknya Jumlah Anggota.

Contoh:

Banyaknya elemen himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} adalah 4. Himpunan {p, q, r, s} juga memiliki elemen sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.

Himpunan Kardinalitas terdiri dari :

a.      Himpunan Berhingga (finit) dan Himpunan Tak berhingga (infinit)

         Himpunan Berhingga (finit) adalah himpunan yang anggotanya berbatas.

         Contoh :

         A = {Himpunan bilangan genap < 10 }  => A = ( 2,4,6,8 }

         B = {Himpunan bilangan ganjil < 10 }   => B = { 1,3,5,7,9 }

b.     Himpunan Tak Berhingga (infinit) adlah himpunan yang anggotanya berbatas.

        Contoh :

        A = { Himpunan bilangan genap }  =>  A = { 2,4,6,8,… }

        B = { Himpunan bilangan ganjil }  => B = { 1,3,5,7,9,… }

c.      Himpunan Denumerable dan Himpunan Nondenumerable

·        Himpunan Denumerable adalah jika sebuah himpunan

                ekuivalen  dengan Himpunan N yaitu Himpunan bilangan asli.

   

Contoh :

     A = { Himpunan bilangan asli }  =>A = { 1,2,3,4,5,… }

·        Himpunan Nondenumberable adalah jika sebuah himpunan ekuivalen dengan himpunan R yaitu himpunan bilangan riil.

                  Contoh :

                  A = { Himpunan bilangan riil } =>A = { 1.01,1.001,1.0001,… }

d.       Himpunan Countable dan Himpunan Uncountable

·        Himpunan Countable jika himpunan itu merupakan himpunan finit atau denumberable.

         Contoh :

        Dalam kehidupan sehari-hari : Beras , Rambut (memiliki unit )

        Dalam bilangan : semua bilangan yang berbatas

·        Himpunan Uncountable hika himpunan itu merupakan infinit atau nodumerable.

       Contoh :

       Dalam kehidupan sehari-hari : Air, Udara

       Dalam bilangan : bilangan rii

Himpunan yang tidak berhingga, mempunyai kardinal yang tidak berhingga pula. Contohnya: himpunan bilangan riil mempunya jumlah anggota tak terhingga, maka |R|=.

4.  Macam-macam himpunan

ᴥ     Himpunan kosong

Himpunan kosong merupakan himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal=0.

Himpunan kosong di tuliskan dengan lambang {} atau .

Contoh:

A={Himpunan ayam berakaki empat}, maka |A|=0.

ᴥ     Himpunan bagian(subset)

Dimana himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B, jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

§  A adalah Subset atau himpunan bagian dari(atau termasuk kedalam) B, dilambangkan dengan A B. Atau secara ekuivalen

§  B adalah superset atau super himpunan dari (atau meliputi) A, dilambangkan dengan B A.

             Jika A adalah sebuah subset dari B,tetapi A tidak sama

              dengan B, maka:

§  A juga meupakan suatu subset wajar dari B (proper subset atau strict subset)dari B, dilambangkan dengan A  B.

§  B adalah superset wajar(proper superset) dari A, dilambangkan dengan: B  A.

             Contoh:

Himpunan A={1,2,3} adalah subset dari E={1,2,3}, sehingga D     E benar, dan A  E salah.

ᴥ     Himpunan berhingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung.
Contohnya D = {bilangan genap kurang dari 10} atau A = {2,4,6,8}.
Himpunan D jumlah angotanya dapat dihitung yaitu sebanyak 4 buah. 

ᴥ     Himpunan tak hingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak hingga. Contohnya: A= {bilangan genap}, B= {bilangan ganjil} 

ᴥ     Himpunan ekuivalen/himpunan sama adalah himpunan yang anggotanya sama
   contohnya A= {b,c,d} B={d,c,b} A=B

ᴥ     Himpunan semesta adalah himpunan dari semua unsur yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta juga disebut himpunan uiversal dan ditulis dengan huruf S.
contohnya:A = {1,3,5,7,9}
himpunan semestanya berupa:
S = {bilangan asli}
S = {bilangan cacah}
S = {bilangan ganjil kurang dari 10}

ᴥ     Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari nol dan seterusnya contoh K = {0,1,2,3,4,5} 

ᴥ     Himpunan bagian adalah apabila setiap unsur dalam himpunan B termasuk juga anggota A, maka B merupakan bagian dari himpunan A. contohnya B = {a,c,e} A = {a,b,c,d,e}
jadi B bagian dari A.Anggota himpunan n adalah suatu unsur dari suatu himpunan. Contohnya : A = (a,b,c,d,e} maka a elemen A

ᴥ     Himpunan lepas adalah ssuatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan lain. ContohnyaA = {d,e,f} B = {g,h,i} maka himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A//B bukan anggota himpunan adalah unsur ini tidak termasuk dalam himpunan tersebut contohnya A = {a,b,c,d} e bukan anggota himpunan A.

ᴥ     Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari bilangan satu dan seterusnya.Contohnya D = {1,2,3,4,...}

ᴥ     Himpunan bilangan genap adalah himpunan yang anggotanya dimulai dari angka dua dan selalu genap atau habis dibagi dua contohnya G = {2,4,6,8,10}

ᴥ     Himpunan bilangan ganjil adalah himpunan yang anggota bilanganya tidak habis dibagi dua .contohnya K = {1,3,5,7}  

ᴥ     Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan yang anggotanya semua bilangan yang memiliki dua faktor contohnya Y = {2,3,,5,7} 

ᴥ     Himpunan kuadrat bilangan cacah adalah himpunan bilangan cacah yang anggotanya dipangkatkan dua.Contohnya Y = {0^2,1^2,3^2)